Connaissez-vous la différence entre le théorème des gendarmes et le théorème de comparaison ? Je vous explique cela en détail, tout simplement.
Différence entre théorème des gendarmes et théorème de comparaison: les énoncés
Avant toute chose, ces deux théorèmes sont vus en terminale (dans l’enseignement des mathématiques en France). Voici leur énoncé:
Soient trois suites \(u_n\), \(v_n\) et \(w_n\) telles que, pour tout entier naturel \(n\), \( v_n \leq u_n \leq w_n\).
Théorème des gendarmes
Si la limite des suites \(v_n\) et \(w_n\) est finie et commune alors la limite de \(u_n\) est celle de ces suites:$$\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = \lim\limits_{n\to+\infty} w_n = \ell \Rightarrow \lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$$où \(\ell\) est un nombre fini.
C’est assez clair: si la suite \(u_n\) est coincée entre deux gendarmes \(v_n\) et \(w_n\), et si les deux gendarmes se rapprochent de plus en plus d’un même nombre fini (pas infini) alors ces deux gendarmes font « guider » la suite \(u_n\) vers ce nombre.
Soient deux suites \(u_n\) et \(v_n\).
Théorème de comparaison
Si \( u_n \leq v_n\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=-\infty\) alors \(\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\infty\).
Si \( u_n \geq v_n\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty\) alors \(\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty\).
Ici, nulle question d’encadrement dans le théorème de comparaison. On compare deux suites:
Si la première suite est plus petite qu’une suite qui diminue de plus en plus, alors elle va diminuer aussi, donc va tendre vers \(-\infty\).
Au contraire, si la première est plus grande qu’une suite qui grandit de plus en plus, alors elle grandit aussi, donc tend vers \(+\infty\).
Différence entre théorème des gendarmes et théorème d’encadrement
Il peut arriver qu’une suite soit encadrée par deux suites qui tendent vers le même infini: \(v_n \leq u_n \leq w_n\) avec \(\lim\limits_{n\to+\infty} v_n = \lim\limits_{n\to+\infty} w_n = +\infty\).
Dans ce cas, ce n’est pas le théorème des gendarmes que nous allons utiliser. En effet, la limite des deux suites qui encadrent, bien qu’elles soient communes, est infinie. Dans ce cas, on ne prendra que la partie de l’encadrement qui nous intéresse: $$v_n \leq u_n$$
On fera ensuite appel au théorème de comparaison.
Bilan
Si on a un encadrement et que la limite des deux suites qui encadrent est commune ET FINIE alors c’est le théorème des gendarmes.
Si on a un encadrement et que la limite des deux suites qui encadrent est commune ET INFINIE alors c’est le théorème de comparaison (en prenant une partie seulement de l’encadrement).
Je vous explique cela en vidéo: