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À quoi ça sert les suites numériques ? C’est vrai ça… On voit cette notion en classe de 1ère spécialité Maths, mais pourquoi ?

Dans cet article, je vais vous exposer les différents domaines où l’on se sert de suites numériques…

À quoi ça sert les suites numériques: bref rappels de cours

Il faut d’abord rafraîchir la mémoire en rappelant ce qu’est une suite numérique.

Introduction

Une suite numérique est une fonction dont la variable est entière. Mais c’est un peu plus que ça quand-même… Car après tout, si une suite n’est qu’une fonction particulière, pourquoi inventer une notion autre que les fonctions ? On pourrait très bien s’en sortir avec la notion de fonction après tout… Sauf que c’est assez réducteur de dire qu’une suite est une fonction particulière. Ce n’est pas faux, mais c’est ce que l’on dit aux élèves au début pour qu’ils et elles s’appuient sur quelque chose qu’il ou elles connaissent (les fonctions).

Suites fonctionnelles

Restons sur cette idée: une suite est une fonction à variable entière. Généralement, les fonctions (à variable réelle) sont notées \(f(x)\), où \(x\) est justement la variable réelle. Pour indiquer le fait que la variable devient entière, on prend pour convention d’utiliser plutôt la lettre \(n\). Ainsi, \(f(n)\) désigne une suite numérique. Mais on va faire mieux question notation pour marquer la différence entre suite et fonction: on va plutôt noter \((u_n)\) la suite.

Par exemple, si \(f(x)=3x^3-1\) désigne une fonction pour tout réel \(x\) alors la suite associée à cette fonction sera notée : \(u_n=f(n)=3n^3-1\). Cette suite est appelé une suite fonctionnelle car elle est définie par une fonction.

Ça, c’est l’exemple basique, celui qui n’est pas super intéressant… Car oui, il y a des suites bien plus intéressantes! Celles que l’on appelle les suites récurrentes.

Suites récurrentes

Une suite récurrente est une suite qui est définie par un ou plusieurs termes initiaux et par une formule permettant de calculer les termes suivants.

Par exemple, la suite \((u_n)\) définie par:$$\begin{cases}u_0=7\\u_{n+1}=3u_n\end{cases}$$signifie que l’on part du nombre 7 et que pour calculer le nombre (le terme) suivant, il faut le multiplier par 3; on obtient alors \(u_1=3\times7=21\). Pour calculer le suivant, on fait pareil: on multiplie le nombre que l’on vient de trouver par 3: \(u_2=3\times21=63\).

La relation \(u_{n+1}=3u_n\) signifie : le terme de rang n+1 est égal au triple du terme précédent (celui de rang n). C’est la relation de récurrence de la suite.

Pour avoir une fiche complète sur les suites vues en 1ère et Teminale, vous pouvez consulter les fiches du site mathweb.fr : fiches de 1ère et fiches de terminale.

À quoi ça sert les suites numériques ? En économie…

Imaginez que votre mamie vous ouvre un livret sur lequel elle met 100 €. Ce livret rapporte 0,5% par an.

Elle souhaite de surcroît ajouter 100 € chaque année pour votre anniversaire. À vos 18 ans, il y aura combien sur ce livret ?

Le suites peuvent nous aider à formaliser le problème, c’est-à-dire à le traduire en mathématiques. Notons \(u_n\) la somme contenue dans le livret à l’année n, en convenant de noter \(u_0=100\). Il faut maintenant trouver la relation de récurrence.

Chaque année, le livret rapporte 0,5% donc le nouveau solde du compte avant l’ajout de mémé pour l’anniversaire est \(1+\frac{0,5}{100}=1,005\) fois plus grand que le précédent. À cela s’ajoutent les 100 € pour l’anniversaire. On obtient alors la relation:$$u_{n+1}=1,005u_n+100.$$Il est maintenant facile de calculer le solde lors de la 18ème année en calculant successivement \(u_1\), \(u_2\), … jusqu’à \(u_{18}\). Là, on peut utiliser un tableur ou un programme Python. Allez ! Je me lance dans le programme Python :

>>> u = 100
>>> for n in range(18):
    u = 1.005 * u + 100
    print( u )

200.5
301.50249999999994
403.0100124999999
505.02506256249984
607.5501878753123
710.5879388146888
814.1408785087622
918.2115829013059
1022.8026408158123
1127.9166540198912
1233.5562372899906
1339.7240184764405
1446.4226385688225
1553.6547517616666
1661.4230255204748
1769.730140648077
1878.5787913513172
1987.9716853080736

Et voilà ! On sait qu’il y aura 1987,97 € sur le solde de ce compte !

À quoi ça sert les suites numériques ? En stochastique…

Ouh là là! Mot savant en vue capitaine! Stochastique ? Sérieusement ?

En gros, la stochastique est l’étude des changements produits par le hasard. Et dans la stochastique, il y a les chaînes de Markov. Prenons un exemple (tiré de la page wikipédia).

Doudou le hamster peut être à trois endroits différents : sa mangeoire, sa roue ou sur ses copeaux (où il dort). Chaque minute, il peut ou non bouger de l’endroit où il est à une autre endroit.

• Il a 9 chances sur 10 de ne pas se réveiller la minute suivante quand il est sur ses copeaux;
• quand il se réveille, il y a 1 chance sur 2 qu’il aille manger et 1 chance sur 2 qu’il parte faire de l’exercice;
• un repas ne dure qu’une minute, après il fait autre chose: après avoir mangé, il y a 3 chances sur 10 qu’il parte courir dans sa roue, mais surtout 7 chances sur 10 qu’il retourne dormir;
• il y a 8 chances sur 10 qu’il retourne dormir au bout d’une minute quand il est sur sa roue, sinon il continue.

Ceci se représente par un schéma:

On appelle cela un graphe probabiliste. Mis peu importe. C’est totalement hors programme de 1ère…

Le fait est que les suite nous permettent d’obtenir les probabilités de lieux où se trouvent Dodo à longs termes :

• 88,4% qu’il soit en train de dormir;
• 4,42% qu’il soit en train de manger;
• 7,18% qu’il soit sur sa roue.

Bien entendu, ce modèle peut être appliqué à beaucoup de situations (flux migratoires par exemple) dès lorsqu’il y a des changements d’états aléatoires.

À quoi ça sert les suites numériques: les fractales

Une fractale est un objet mathématique auto-similaire, c’est-à-dire dont la forme se répète à l’infinie à différentes échelles. Ouais, c’est pas simple de comprendre cette phrase… Je vous invite à regarder la page de wikipedia qui parle de fractales.

Les fractales, par leur structure, sont engendrées par des suites récurrentes. Et les fractales, ben ça sert par exemple à construire des murs anti-bruit, qui absorbe le bruit des voitures (par exemple):

ou encore des antennes fractales:

Les fractales servent aussi à modéliser par images de synthèse certains paysages, comme les côtes bretonnes ou tout autre paysage que vous pouvez trouver dans vos films d’animation préférés (voir article de Tangente magazine ou encore cette page).

À quoi ça sert les suites numériques: en informatique

Je ne vais pas pouvoir rentrer dans les détails mais juste vous parler de la complexité algorithmique d’un programme. C’est un indice qui permet de voir si un programme est performant ou pas (en simplifiant beaucoup).

Certains programmes ont une complexité algorithmique que l’on peut calculer à l’aide de suites numériques (suite dites arithmético-géométriques par exemple pour des fonctions récursives d’ordre 1… pour les connaisseurs…).

À quoi ça sert les suites numériques: en mathématiques

Bien entendu, au sein même des mathématiques, nous avons souvent besoin des suites numériques pour toute observation d’un phénomène discret. C’est l’essence même de l’existence des suites numériques, car autant les fonctions permettent d’étudier des phénomènes continus (en fonction du temps par exemple, qui s’écoule de manière continue), autant les suites servent à étudier des phénomènes discrets (ce qui se passe, « par à-coups » (solde d’un compte mois après mois ou année après années par exemple).

Les suites sont les prémices d’une autre notion: les séries. Les séries servent notamment (série de Fourier) à transformer un signal analogique en signal numérique ou même à montrer qu’une somme infinie d’inverses au carré est finie est s’exprime en fonction de Pi:$$\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}.$$

Le nombre d’or est aussi un résultat issue de l’étude d’une suite bien particulière (suite de Fibonacci). Ce nombre a été utilisé à maintes reprises par divers artistes et architecte (Le Corbusier, Léonard De Vinci, …). Voir ce document pour quelques compléments.